Вестник 4 (37) 2020

от

Текст

I. Бабенко М. В. О ПОЛУКОЛЬЦЕ МНОГОЧЛЕНОВ НАД ПОЛУКОЛЬЦОМ БЕЗУ

DOI: 10.34130/1992-2752_2020_4_05

Бабенко Марина Владимировна — старший преподаватель кафедры прикладной математики и информатики, Вятский государственный университет, e-mail: usrll391@vyatsu.ru

Текст статьи

В статье исследуется полукольцо многочленов над риккартовым полукольцом Безу. Именно пусть все левые аннуляторные идеалы полукольца S являются идеалами. Тогда полукольцо многочленов R = S[x] является полукольцом без нильпотентных элементов и каждый конечно порожденный левый монический идеал из R является главным в точности тогда, когда S — риккартово слева левое полукольцо Безу и любой неделитель нуля полукольца S обратим в S. Этот результат является аналогом утверждения для колец, если условие «каждый конечно порожденный левый монический идеал из R является главным» заменить на «R — левое кольцо Безу». Левый монический идеал полукольца многочленов — это левый идеал, который содержит каждый одночлен своего многочлена. Получено описание главных левых монических идеалов над риккартовым слева левым полукольцом Безу.

Ключевые слова: полукольцо многочленов, риккартово полукольцо, полукольцо Безу, монический идеал.

Список литературы

  1. Туганбаев А. А. Кольца Безу, многочлены и дистрибутивность // Математические заметки. 2001. 70:2. С. 270-288.
  2. Dale L. Monic and monic free ideals in polynomial semirings // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. 56. P. 45-50.
  3. Dale L. The structure of monic ideals in a noncommutative polynomial semirings // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1982. 39:1-3. P. 163-168.
  4. Golan J. S. Semirings and their applications. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1999.
  5. Chermnykh V. V. Functional representations of semirings // J. Math. Sci. (New York). 2012. 187:2. P. 187-267.
  6. Масляев Д. А., Чермных В. В. Полукольца косых многочленов Лорана // Сибирские электронные матем. известия. 2020. Т. 11.С. 512-533.

Для цитирования: Бабенко М. В. О полукольце многочленов над полукольцом Безу// Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 4 (37). С. 5-15.

II. Ефимов Д. Б. ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГАФНИАНА

DOI: 10.34130/1992-2752_2020_4_16

Ефимов Дмитрий Борисович — к. ф.-м. н., научный сотрудник, Физико-математический институт Коми НЦ УрО РАН, e-mail:dmefim@mail.ru

Текст статьи

Понятие гафниана по аналогии с пфаффианом было первоначально введено Э. Р. Каяньелло в качестве удобного математического аппарата для работы с определенными квантовомеханическими величинами. С комбинаторной точки зрения гафниан симметричной матрицы равен сумме весов совершенных паросочетаний графа с данной матрицей инцидентности. В отличие от пфаффиана гафниан обладает меньшим набором «хороших» свойств, и определение его значения — это один из примеров труднорешаемой вычислительной задачи. В представленной работе рассмотрен новый метод вычисления гафниана матрицы через перманенты ее подматриц. Приведено его сравнение с другими методами с точки зрения вычислительной сложности. Лежащее в основе метода свойство может бы использовано также вне контекста скорости вычисления, например для оценки гафниана неотрицательной матрицы, исходя из известных оценок перманента.

Ключевые слова: гафниан, перманент, вычислительная сложность.

Список литературы

  1. Caianiello Е. R. On quantum field theory — I: Explicit solution of Dyson’s equation in electrodynamics without use of Feynman graphs // IL Nuovo Cimento. 1953. V. 10(12). Pp. 163^-1652.
  2. Caianiello E. R. Theory of coupled quantized fields // Supplemento Nuovo Cimento. 1959. V. 14(1)- Pp- 177-191.
  3. Caianiello E. R. Regularization and Renormalization // IL Nuovo Cimento. 1959. V. 13(3). Pp. 177-191.
  4. Минк X. Перманенты. M.: Мир. 1982. 216 с.
  5. Valiant L. G. The complexity of computing the permanent // Theoretical Computer Science. 1979. V. 8(2). Pp. 187-201.
  6. Bjorklund A., Gupt B., Quesada N. A faster hafnian formula for complex matrices and its benchmarking on a supercomputer // ACM Journal of Experimental Algorithmics. 2019. V. 24(1). 17 p.
  7. Aaronson S., Arkhipov A. The computational complexity of linear optics // Proceedings of the Annual ACM Symposium on Theory of Computing. 2011. Pp. 333-342.
  8. Kruse R., Hamilton C. S., Sansoni L., Barkhofen S., Silberhorn C., Jex I. Detailed study of Gaussian boson sampling // Physical Review A. 2019. V. 100(3). 032326.

Для цитирования: Ефимов Д. Б. Об одном методе вычисления гафниана // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 4 (37). С. 16-25.

III Габова М. Н., Мужикова А. В. КОНТЕКСТНЫЙ ПОДХОД В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ БУДУЩИМ ИНЖЕНЕРАМ

DOI: 10.34130/1992-2752_2020_4_26

Габова Мария Николаевна — старший преподаватель кафедры высшей математики, Ухтинский государственный технический университет, e-mail: amuzhikova@mail.ru

Мужикова Александра Владимировна — к. т. н., доцент кафедры высшей математики, Ухтинский государственный технический университет, e-mail: amuzhikova@mail.ru

Текст статьи

Существует проблема снижения математической образованности выпускников школ и, как следствие, отсутствие у первокурсников мотивации и познавателвной активности при изучении математики в вузе. Математика, лишенная профессиональной направленности, не представляет интереса для большинства студентов технического вуза. Эффективности процесса обучения может быть достигнута за счет использования контекстного подхода. Контекстное обучение — это обучение, в котором на языке наук и с помощью всей системы форм, методов и средств обучения моделируется предметное и социальное содержание усваиваемой студентами профессиональной деятельности. Рассматривая контекстное обучение как целостную систему, удовлетворяющую соответствующим ему принципам, в работе представлено разработанное методическое и организационное обеспечение учебной деятельности. Основной идеей при разработке содержания является постепенный переход от абстрактных математических понятий к их прикладному значению в смежных науках, а далее к их применению в профессиональных областях. Принципы контекстного обучения наилучшим образом реализуются при использовании активных и интерактивных форм обучения и соответствующих им методов. Наибольшую эффективность с точки зрения достижения целей обучения, развития и воспитания показали такие методы, как проблемная лекция, взаимопередача тем в парах сменного состава, поабзацное изучение теоретического материала в малых группах, взаимообмен заданиями на практических занятиях и др.
Применение контекстного подхода позволяет развивать у обучающегося социальное взаимодействие, мотивацию и познавательную активность, математическую грамотность, способность применять математический аппарат в своей учебной и профессиональной деятельности и вносить свой вклад в формирование современного инженера, способного к творческой деятельности и самореализации.

Ключевые слова: математика для инженеров, контекстный подход, активные и интерактивные методы обучения.

Список литературы

  1. Костенко И. П. Эволюция качества математического образования (1931-2009 гг.) // Известия ВГПУ. 2013. № 2 (261). С. 81-87.
  2. Мужикова А. В. Математическая образованность студентов: проблемы и перспективы // Коммуникации. Общество. Духовность-2019 : материалы XIX Международной научнопрактической конференции (25-26 апреля, 2019 г.) : в 4 ч. / под общ. ред. М. С. Хозяиновой. Ухта: УГТУ, 2019. Ч. 3. С. 141-144­
  3. Мужикова А. В., Габова М. Н. Развитие грамотной математической речи студентов в техническом вузе // Высшее образование в России. 2020. № 1. С. 66-75.
  4. Розанова С. А. Математическая культура студентов технических университетов. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. 176 с.
  5. Богомолова Е. П. Диагноз: математическая малограмотность // Математика в школе. 2010. Xs 4- С. 3-9.
  6. Сенашенко В. С., Вострикова Н. А. О преемственности среднего и высшего математического образования // Материалы Международной конференции «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство». Плоцк (Польши), 2006. С. 103-106.
  7. Зайниев Р. М. Преемственность математической подготовки в инженерно-техническом образовании. Казань: Казанский государственный университет, 2009. 366 с.
  8. Егорова И. П. Проектирование и реализация системы профессионально-направленного обучения математике студентов технических вузов: автореф. дис. … канд. пед. наук. Тольятти,24 с.
  9. Вербицкий А. А. Активное обучение в высшей школе: контекстный подход : методическое пособие. М.: Высшая школа, 1991. 207 с.
  10. Гребёнкина А. С. Особенности контекстного обучения высшей математике студентов технических специальностей // Психология и педагогика, XXI века: теория, практика, и перспективы : материалы II Междунар. науч.-практ. конф. (Чебоксары, 12 м,а,рта, 2015 г.) / редкол. : О. Н. Широков [и др.]. Чебоксары: ЦНС «Интерактив плюс», 2015. С. 24~30.
  11. Колбина Е. В. Методика формирования математической компетентности студентов технических вузов в проблемно-прикладном контексте обучения : дис. … канд. пед. наук / Сиб. федер. ун-т. Барнаул, 2016. 221 с.
  12. Янущик О. В., Шерстнёва А. И., Пахомова Е. Г. Контекстные задачи как средство формирования ключевых компетенций студентов технических специальностей //Современные проблемы науки и образования. 2013. Xs 6. С. 376.
  13. Педагогика : учебное пособие для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей / под ред. П. И. Пидкасистого. М.: Педагогическое общество России, 1998. 640 с.
  14. Нижников А. И., Растопчина О. М. Обучение высшей математике: контекстный подход // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Педагогика. 2018. Xs 3. С. 184-193.
  15. Сорокопуд Ю. В. Педагогика высшей школы. Ростов н/Д: Феникс, 2011. 541 с.
  16. Мкртчян М. А. Методики коллективных учебных занятий // Справочник заместителя директора школы. 2011. № 1. С. 55-64­
  17. Прудникова О. М., Габова М. Н., Канева Е. А. К вопросу формирования у студентов критически-рефлексивного стиля мышления // Сборник научных трудов : материалы научнотехнической конференции (20-23 сентября, 2011, г. Ухта) : в 3 ч. Ухта: УГТУ, 2011. Ч. 3. С. 226-229.
  18. Мужикова А. В. Интерактивное обучение математике в вузе // Вестник Сыктывкарского университета. Серия, 1: Математика. Механика. Информатика. 2015. Вып. 1 (20). С. 74~90.
  19. Мужикова А. В. Исследование эффективности коллективных учебных занятий по высшей математике // Вестник Томского государственного педагогического университета. 2018. № 7 (196). С. 174-181.
  20. Lobos Е., Macura J. Mathematical competencies of engineering students (I Tn ICEE-2010, International Conference on Engineering Education. July 18-22, 2010, Gliwice, Poland. Silestian University of Technology.
  21. Zeidmane A., Rubina T. Student — Related factor for dropping out in the first year of studies at LLU engineering programmes // Engineering for Rural Development. 2017. N 16. P. 612-618.
    doi:10.22616/ERDev2017.16.N122.
  22. Steyn T., Plessis I. D. Competence in mathematics-more than mathematical skills? // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 2007. Vol. 38. Issue 7. P. 881­doi:l0.1080/002073907015794
  23. Ravn О., Bo Henriksen L. Engineering mathematics in context learning university mathematics through problem based learning // International Journal ofEngineering Education. 2017. Vol. 33. Issued. P. 956-962.
  24. Firouzian S., Kashefi H., Yusof Y. M., Ismail Z., Rahman R. A. Mathematical competencies as perceived by 46 Габова М. Н., Мужикова А. В. engineering students, lecturers, and practicing engineers // International Journal of Engineering Education. 2016. Vol. 33. Issue 6. P. 2434-2Ц5.

Для цитирования: Габова М. Н., Мужикова А. В. Контекстный подход в преподавании математики будущим инженерам // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Информатика. 2020. Вып. 4 (37). С. 26-50.

IV Одинец В. П. СУДЬБА ДВУХ МАТЕМАТИКОВ: ОТЦА И СЫНА ПЕРЕЛЬМАНОВ

DOI: 10.34130/1992-2752_2020_4_51

Одинец Владимир Петрович — д. ф.-м. н., профессор, Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина, e-mail: W.P.Odyniec@mail.ru

Текст статьи

Впервые описываются резулвтатв1 научной работв1 Якова Исидоровича Перельмана (1882-1942) в области математики и её приложения к теории упругости, полученные накануне Великой Отечественной войны. Описаны также жизнь и научные работы его сына Михаила Яковлевича Перельмана (1919-1942).

Ключевые слова: Я. И. Перельман, метод Галеркина, М. Я. Перельман, модуль непрерывности, вес и псевдовес топологического пространства.

Список Литературы

  1. Мишкевич Г. И. Доктор занимательных наук. М.: Знание, 1986. 192 с.
  2. Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947 / под ред. А. Г. Куроша, А. И. Маркушевича, П. К. Рашевского. М.; Л.: ОГИЗ, Изд-во тех.-теор. лит-ры, 1948. 1045 с.
  3. Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. Т. 2. Биобиблиография. М.: Физ.-мат. лит., 1959. 819 с.
  4. Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М.; Л., 1943. 287 с.
  5. Книга памяти. Ленинград. 1941-1945. Приморский район. СПб.: Нотабене, 1997. Т. 12. 557 с.
  6. Перельман Я. И. Метод Галеркина в вариационном исчислении и в теории упругости // Прикладная математика, и механика. 1941. Т. V. Вът. 3. С. 345-358.
  7. Галеркин Б. Г., Перельман Я. И. Напряжения и перемещения в круговом цилиндрическом трубопроводе. Известия научно исследовательского ин-та гидротехники. Т. 27. 1940. С. 160-192.
  8. Одинец В. П. О ленинградских математиках, погибших в 1941— 1944 годах. Сыктывкар: Изд-во СГУ им. Питирима Сорокина,122 с.
  9. Блокада 1941-1944. Книга памяти. Ленинград. Т. 23 (ПавловаПетрова). СПб.: Изд. дом «Стелла», 2005. 717 с.
  10. Одинец В. П. К 125-летию реформатора математического образования О. А. Больберга (1895-1942) // Математика в школе.
    Судьба, двух математиков: отца и сына Перельманов 63
  11. Перельман М. Я. О модуле непрерывности аналитических функций // Ученые записки ЛГУ. Серия мат. наук. 1941- Вып. 12. С. 62-82.
  12. Труды Первого Всесоюзного съезда математиков. М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. 376 с.
  13. Фомин Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиады. СПб.: Политехника, 1994. 309 с.
  14. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988. 848 с.
  15. Перельман М. Я. Об одном свойстве последовательности полиномов// Ученые записки ЛГУ. Серия, мат. наук. 1941- Вып. 12. С. 83-91.

Для цитирования: Одинец В. П. Судьба двух математиков: отца и сына Перельманов // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 4 (37). С. 51-65.

V Певный А. Б., Юркина М. Н. СЛОЖНОСТЬ РЕШЕТА ЭРАТОСФЕНА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

DOI: 10.34130/1992-2752_2020_4_66

Певный Александр Борисович — д. ф.-м. н., профессор, кафедра прикладной математики и информационных технологий в образовании, Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина, e-mail: pevnyi@syktsu.ru

Юркина Марина Николаевна — старший преподаватель, кафедра прикладной математики и информационных технологий в образовании, Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина, e-mail: yurkinamn@gmail.com

Текст статьи

Простые числа широко используются не только в чистой математике, но и в смежных дисциплинах. И хотя они известны с давних времен, многие проблемы, касающиеся простых чисел, попрежнему остаются открытыми и вопросы их изучения не теряют своей актуальности. Одним из известных алгоритмов нахождения всех простых чисел, не превосходящих данного N, является решето Эратосфена. Для оценки количества операций, необходимых для выполнения этого алгоритма, авторы воспользовались одним результатом П. Л. Чебышева. В 1849 году П. Л. Чебышев доказал двустороннюю оценку для количества простых чисел, не превосходящих данного N. На основании этих оценок в статье устанавливается, что количество операций в алгоритме Эратосфена оценивается как O(N lnln N).

Ключевые слова: решето Эратосфена, сложность, Чебышев.

Список литературы

  1. Leandro М., Antonio J. J., Antonio S. F. Multiplication and Squaring with Shifting Primes on OpenRISC Processors with Hardware Multiplier // Journal of Universal Computer Science. 2013. Vol. 19. No 16. Pp. 2368-2384.
  2. Krishan K., Deepti S. D. Eratosthenes sieve based key-frame extraction technique for event summarization in videos // Multimedia Tools and Applications. 2018. 77. Pp.
  3. Duran R. D., Masque М. Optimal strong primes // Information Processing Letters. 2015. 93 (1). Pp. 47-52.
  4. Samir В. B., Zardari M. A. Generation of prime numbers from advanced sequence and decomposition methods // International Journal of Pure and Applied Mathematics. Vol. 85. No 5. 2013. Pp. 833-847.
  5. Mohammad G., Ali K. A novel secret image sharing scheme using large primes // Multimedia Tools and Applications. 2018. 77. Pp. 11903-11923.
  6. Barzu M., Tiplea F. L., Dragan С. C. Compact sequences of coprimes and their applications to the security of CRT-based threshold schemes // Information Sciences. 2013. 240. Pp. 161-172.
  7. Попов В. А., Канева E. А. «Длинная» арифметика в исследованиях статистики первых цифр степеней двойки, чисел Фибоначчи и простых чисел // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2019. Вып. 2 (31). С. 91­ 107.
  8. Кудрина Е. В., Кузьмина В. Р. Алгоритмы нахождения простых чисел: от школы до вуза // Электронное обучение в непрерывном, образовании : сборник научных трудов III Международной научно-практической конференции. Ульяновск: УлГТУ, 2016. С. 1106-1113.
  9. Чебышев П. Л. Избранные математические труды. М.: Л.: ОГИЗ. Гос. изд-во техн.-теорет. лит. 1946. 200 с.
  10. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960. 376 с.

Для цитирования: Певный А. Б., Юркина М. Н. Сложность решета Эратосфена и распределение простых чисел // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика.

VI Попов Н. И., Яковлева Е. В. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СХЕМАТИЗАЦИИ ПРИ
ОБУЧЕНИИ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКЕ

DOI: 10.34130/1992-2752_2020_4_74

Текст статьи

Цель настоящей статьи заключается в выделении и обобщении особенностей использования метода схематизации при обучении математике. Данный метод рассматривается как средство развития мышления и математических способностей обучающихся. Исследование основано на анализе научных и методических трудов отечественных и зарубежных ученых по теории деятельности, педагогике, а также на авторских разработках по применению метода схематизации в обучении математике. Предложена схематическая модель для обучения школьников и студентов решению математических задач. Методические подходы, разработанные в процессе исследования, могут быть использованы при обучении математике на разных уровнях образования. Описанный в работе метод можно успешно применять при изучении различных естественно-научных дисциплин.

Ключевые слова: метод схематизации, обучение математике, этапы решения математических задач, схематическая модель.

Список литературы

  1. Роберт И. В. Дидактика эпохи цифровых информационных технологий //Профессиональное образование. Столица. 2019. 3. С. 16-26.
  2. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М.: Издательство «Институт практической психологии», 1998. 416 с.
  3. Далингер В. А. Теоретические основы когнитивно-визуального подхода к обучению математике : монография. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2006. 144 с.
  4. Попов Н. И. Методика обучения тригонометрии на основе когнитивно-визуального подхода // Сибирский педагогический журнал. 2008. № 11. С. 34~42.
  5. Христочевская А. С., Христочевский С. А. Когнитивизация — следующий этап информатизации образования // Информатика, и образование. 2018. 9. С. 5-11.
  6. Tchoshanov М. A. Digital age didactics: from teaching to engineering of learning (Part 1) // Информатика и образование. 9. С. 53-62.
  7. Хеннер Е. К. Вычислительное мышление // Образование и наука. 2016. № 2. С. 8-33.
  8. Van Kesteren М. Т. R., Rijpkema М., Ruiter D. J., Fernandez G. Consolidation Differentially Modulates Schema Effects on Memory for Items and Associations // PLOS ONE. 2013. Vol. 8.
    Issue 2.
  9. Дахин A. H. Когнитивная гармония математики // Народное образование. 2017. № 6-7. С. 81-88.
  10. Anderson R. К., Boaler J., Dieckmann J. Achieving Elusive Teacher Change through Challenging Myths about Learning: A Blended Approach // Education Sciences. 2018. Vol. 8. Issue 3: 98.
  11. Попов H. И. Теоретико-методологические основы обучения решению текстовых алгебраических задач // Образование и наука. Известия Уральского отделения Российской академии образования. 2009. > 3 (60). С. 88-96.
  12. Попов Н. И. Об эффективности использования модели обучающей технологии по тригонометрии при обучении студентов математиков // Образование и наука. 2013. № 9. С. 138-153.
  13. Bacabac М. A. A., Lomibao L. S. 4S Learning Cycle on Students’ Mathematics Comprehension // American Journal of Educational Research. 2020. Vol. 8. Issue 3. Pp. 182-186.
  14. Burte H., Gardony A. L., Hutton A., Taylor H. A. Think3d!: Improving mathematics learning through embodied spatial training // Cognitive Research: Principles and Implications. 2017.
    Vol. 2. Issue 1.
  15. Hoogland K., Pepin B., Koning J., Bakker A., Gravemeijer K. Word problems versus image-rich problems: an analysis of effects of task characteristics on students’ performance on contextual
    mathematics problems // Research in Mathematics Education. 2018. Vol. 20. Issue 1. Pp. 37-52.
  16. Берникова И. К. Схемы как средства организации мышления в процессе обучения математике // Вестник ОмГУ. 2015. № 1 (75). С. 23-27.
  17. Rahmawati D., Purwantoa, Subanji, Hidayanto E., Anwar R. B. Process of Mathematical Representation Translation from Verbal into Graphic // International Electronic Journal of
    Mathematics Education. 2017. Vol. 12, Issue 3. Pp. 367-381.
  18. Злотников И. В. Психологическое и психофизическое обеспечение процесса обучения студентов : методические рекомендации. Рига: Изд-во РПИ, 1988. 36 с.
  19. Пойа Д. Как решать задачу / под ред. Ю. М. Гайдука. М., 1959. 208 с.
  20. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. М.: Просвещение, 1977. Ч. 1. 113 с.
  21. Мордкович А. Г. Беседы с учителями математики : учеб.-метод, пособие. М.: Оникс, 2007. 334 с.
  22. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. М., 2005. 254 с.
  23. Нешков К. И., Семушин А. Д. Функции задач в обучении // Математика в школе. 1971. № 3. С. 4-7.
  24. Попов Н. И., Яковлева Е. В. Актуальные проблемы обучения математике иностранных студентов в вузе // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Педагогика.3. С. Ц4-153.
  25. Марасанов А. Н. Система задач по тригонометрии в обучении математике учащихся средних общеобразовательных учреждений: дис.канд. пед. наук. Саранск. 2012. 180 с.

Для цитирования: Попов H. И., Яковлева Е. В. Использование метода схематизации при обучении студентов и школьников математике // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 4 (37). С. 74~87

Оставьте комментарий